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插值法的快速理解和掌握  

2015-04-30 09:47:42|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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  摘要 在时间价值及内部报酬率计算时常用到插入法,但初学者对该方法并不是很容易理解和掌握。本文根据不同情况分门别类。利用相似三角形原理推导出插入法计算用公式。并将其归纳为两类:加法公式和减法公式,简单易懂、理解准确、便于记忆、推导快捷。

  关键词 插入法;近似直边三角形;相似三角形"

  时间价值原理正确地揭示了不同时点上资金之间的换算。是财务决策的基本依据。为此,财务人员必须了解时间价值的概念和计算方法。但在教学过程中。笔者发现大多数教材插值法(也叫插入法)是用下述方法来进行的。如高等教育出版社2000年出版的《财务管理学》P62对贴现期的。

  事实上,这样计算的结果是错误的。最直观的判断是:系数与期数成正向关系。而4.000更接近于3.791。那么最后的期数n应该更接近于5,而不是6。正确结果是:n=6-0.6=5.4(年)。由此可见,这种插入法比较麻烦,不小心时还容易出现上述错误。

  笔者在教学实践中用公式法来进行插值法演算,效果很好,现分以下几种情况介绍其原理。

  一、已知系数F和计息期n。求利息率i

  这里的系数F不外乎是现值系数(如:复利现值系数PVIF年金现值系数PVIFA)和终值系数(如:复利终值系数FVIF、年金终值系数FVIFA)。

  (一)已知的是现值系数

  那么系数与利息率(也即贴现率)之间是反向关系:贴现率越大系数反而越小,可用图1表示。

  图1中。F表示根据题意计算出来的年金现值系数(复利现值系数的图示略有不同,在于i可以等于0,此时纵轴上的系数F等于1),F为在相应系数表中查到的略大于F的那个系数,F对应的利息率即为i。查表所得的另一个比F略小的系数记作F,其对应的利息率为i。

  

  

  

  

  (二)已知的是终值系数

  那么系数与利息率之间是正向关系:利息率越大系数也越大。其关系可用图2表示。

  图2中,F表示根据题意计算出来的某种终值系数。F为在相应系数表中查到的略小于F的那个系数。F对应的利息率仍记作i,查表所得的另一个比F略大的系数记作F,其对应的利息率即为i。

  上面两图中,二者往往相差1%,最多也不超过5%,故曲边三角形ABC和ADE可近似地看作直边三角形。

  二、已知系数F和利息率i。求计息期n

  (一)已知的是终值系数和年金现值系数

  那么系数与计息期间是正向关系:计息期越大系数也越大。可用图3表示。

  图3中。F表示根据题意计算出来的终值系数或年金现值系数,F为在相应系数表中查到的略小于F的那个系数。F对应的计息期即为n,查表所得的另一个比F略大的系数即记作F。其对应的计息期为n。

  (二)已知的是复利现值系数

  那么系数与计息期间是反向关系:计息期越大系数反而越小。可用图4表示。

  图4中,F表不根据题意计算出来的复利现系数。F1为在相应系数表中查到的略大于F的那个系数,F1对应的计息期即为n1,那么还有另一个比F略小的系数即记作F2,其对应的计息期为n2。

  同理,当n1和n2无限接近时,近似直边三角形ABC、ADE为相似三角形,则有:BC/DE=AB/AD

  在图3中即有:F-F1/F2-F1=n-n1/n2-n1

  在图4中则有:n-n1/n2-n1=F1-F/F1-F2

  据上面两式均可求得:

  n=n1+F1-F/F2-F1(n2-n1)…………………………公式2

  三、内部报酬率IRR的计算

  内部报酬率(或叫内部收益率)IRR是投资决策常用指标之一,也采用插值法来计算,其原理等同于时间价值中利息率的计算,只是因变量由终值、现值系数转变为净现值NPV。其计算原理可在图5中得到反映。

  这里,i1<i2,且二者之差不超过5%,这是在实际计算中很多人容易忽略的一个方面。在测算净现值时。先试用一个较小的贴现率,求得的NPV远大于零,于是就再选用一个大得多的贴现率让NPV小于0,之后也直接套用公式3来计算IRR,这样虽然省事。但误差较大,有时候会影响决策。因为此时曲边三角形不可以近似看作直边三角形,后面的推导也就不成立了。理解了这一原理,一般就会注意两次试用的贴现率之间差距不要太大。其标准就是不超过5%。

  以上三个公式均是以较小的变量(i1、n1)加上插入值。可以称为加法公式。公式中分式部分即插入值。其分子、分母的被减项都是较小变量对应的系数或净现值,这样对应记忆快捷准确。加上三者结构一致,记住一个即可举一反三,非常方便。

  这三个公式均是以较大的一项(i2、n2)为起点,减去插入值,可以称为减法公式。分式中分子、分母的被减项均是较大变量对应的系数或净现值,也是对应关系。

  本文开头所提例子应该用减法公式,直接套用公式2,因为其列示已知变量是从大到小,但教材却用了加法公式2。导致错误。如果采用加法公式2,那就要对查表已知的期数及年金现值系数从小到大重新排列。正确运用两公式的结果是一样的,均为5.4年。

  插值法的原理是相似三角形定理,据此。即使模糊或忘记了公式也可采用文中任一图示快速、准确地推导出来。而且采用公式法,不论是根据什么系数。也不论是求解利息率、计息期还是IRR。均可套用,简单有效又不容易出错。

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